Exercice : Résolution de problèmes par les fonctions

Étape 1

Notons $x$ le nombre d'heures de jeu et $f(x)$ le prix total payé en euros. Le tarif étant composé d'un abonnement fixe et d'un prix par heure constant, la situation se modélise par une fonction affine de la forme $f(x) = a x + b$.

Étape 2

Entre $6\text{ h}$ et $10\text{ h}$ de jeu, la durée augmente de $10 - 6 = 4\text{ h}$, pour un surcoût de $67 - 47 = 20\text{ €}$.

Étape 3

Le prix d'une heure de jeu correspond au coefficient $a$ : $$a = \frac{67 - 47}{10 - 6} = \frac{20}{4} = 5$$ Chaque heure de jeu coûte donc $5\text{ €}$.

Étape 4

Pour déterminer le montant fixe de l'abonnement $b$, on utilise la donnée pour $6\text{ h}$ de jeu : $$f(6) = 5 \times 6 + b = 47$$ Ce qui donne $30 + b = 47$, d'où $b = 47 - 30 = 17\text{ €}$.

Étape 5

La fonction modélisant le tarif est donc $f(x) = 5x + 17$.

Étape 6

On cherche le nombre d'heures $x$ pour un total de $102\text{ €}$, ce qui revient à résoudre l'équation : $$5x + 17 = 102$$ Ce qui équivaut à $5x = 102 - 17$, soit $5x = 85$. D'où $x = \frac{85}{5} = 17$.

Étape 7

Le membre a donc joué $17\text{ h}$.