Exercice : Résolution de problèmes par les fonctions

Étape 1

Déterminons l'expression du volume d'eau du réservoir A en fonction du temps $t$. Le réservoir se vidant à débit constant, son volume $f(t)$ en litres au bout de $t$ minutes est modélisé par une fonction affine $f(t) = a t + b$. Entre $t = 3\text{ min}$ et $t = 8\text{ min}$, la variation de volume est $480 - 580 = -100\text{ L}$ pour une durée de $8 - 3 = 5\text{ min}$. Le débit correspond au coefficient directeur : $$a = \frac{480 - 580}{8 - 3} = \frac{-100}{5} = -20\text{ L/min}$$ Le réservoir perd donc $20\text{ litres}$ par minute.

Étape 2

Pour déterminer la quantité initiale $b$, on utilise l'information à $t = 3\text{ min}$ : $$-20 \times 3 + b = 580$$ $$-60 + b = 580$$ $$b = 580 + 60 = 640\text{ L}$$ Pour tout $t \ge 0$, le volume du réservoir A est donc $f(t) = -20t + 640$.

Étape 3

Déterminons l'expression du volume d'eau du réservoir B en fonction du temps $t$. Le réservoir B contient $160\text{ litres}$ au départ et gagne $12\text{ litres}$ par minute. Son volume $g(t)$ en litres au bout de $t$ minutes est donc : $$g(t) = 12t + 160$$

Étape 4

Déterminons l'instant $t$ pour lequel les deux volumes sont égaux en résolvant l'équation $g(t) = f(t)$ : $$12t + 160 = -20t + 640$$ En ajoutant $20t$ de chaque côté, on obtient : $$32t + 160 = 640$$ En soustrayant $160$ de chaque côté : $$32t = 480$$ En divisant par $32$ : $$t = \frac{480}{32} = 15$$ À partir de $t = 15\text{ minutes}$, le réservoir B contient au moins autant d'eau que le réservoir A.