Étape 1
La section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe de rotation est un rectangle $ABCD$.
Étape 2
La hauteur de cette section rectangulaire est égale à la hauteur du cylindre, soit $10\text{ cm}$.
Étape 3
Pour déterminer la largeur $AB$ de cette section, observons la base inférieure du cylindre. Il s'agit d'un disque de centre $O$ et de rayon $OA = 5\text{ cm}$. Le plan de coupe coupe ce disque selon le segment $[AB]$. Soit $H$ le milieu du segment $[AB]$. La droite $(OH)$ est perpendiculaire à $(AB)$, et la longueur $OH = 3\text{ cm}$ représente la distance du centre à la coupe.
Étape 4
Dans le triangle $OHA$ rectangle en $H$, on applique le théorème de Pythagore :
Étape 5
$$OA^2 = OH^2 + HA^2$$
Étape 6
$$5^2 = 3^2 + HA^2$$
Étape 7
$$25 = 9 + HA^2$$
Étape 8
$$HA^2 = 25 - 9 = 16$$
Étape 9
On en déduit :
Étape 10
$$HA = \sqrt{16} = 4\text{ cm}$$
Étape 11
Comme $H$ est le milieu du segment $[AB]$, la largeur du rectangle vaut :
Étape 12
$$AB = 2 \times HA = 2 \times 4\text{ cm} = 8\text{ cm}$$
Étape 13
On calcule enfin l'aire du rectangle de section $ABCD$ :
Étape 14
$$\text{Aire} = AB \times h = 8\text{ cm} \times 10\text{ cm} = 80\text{ cm}^2$$
Méthode clé
La section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle dont une dimension est la hauteur du cylindre et l'autre est une corde du cercle de base calculée à l'aide du théorème de Pythagore.
Piège à éviter
Confondre le rayon de la base avec la largeur de la section, ou oublier de doubler la longueur de la demi-corde calculée dans le triangle rectangle.
