Exercice : Fractions : simplifications et problèmes

Étape 1

On détermine la proportion d'eau restante à la fin de chaque semaine par rapport au volume restant de la semaine précédente :

Étape 2

La première semaine, en utilisant $\frac{1}{3}$ du volume initial, il reste $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ du volume initial.

Étape 3

La deuxième semaine, en utilisant $\frac{2}{5}$ du reste, il reste $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ de ce premier reste. La proportion du volume initial restant après la deuxième semaine est : $$\frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$

Étape 4

La troisième semaine, en utilisant $\frac{1}{4}$ du nouveau reste, il reste $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ de ce second reste. La proportion du volume initial restant à la fin des trois semaines est : $$\frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$

Étape 5

Soit $V$ la capacité totale initiale de la citerne en litres. Le volume d'eau restant représente $\frac{3}{10}$ du volume initial $V$. On obtient l'équation : $$\frac{3}{10} \times V = 135$$

Étape 6

On isole $V$ pour trouver la valeur initiale : $$V = 135 \div \frac{3}{10} = 135 \times \frac{10}{3}$$

Étape 7

En effectuant le calcul : $$V = \frac{135}{3} \times 10 = 45 \times 10 = 450$$

Étape 8

La capacité totale initiale de la citerne était de 450 litres.