Exercice : Factoriser des expressions

Étape 1

On remplace $x$ par $5$ dans l'expression de $E$ :

Étape 2

$$E = (a \times 5 - 7)(a \times 5 + 7) = (5a - 7)(5a + 7)$$

Étape 3

On développe cette expression à l'aide de l'identité remarquable $(u - v)(u + v) = u^2 - v^2$ :

Étape 4

$$E = (5a)^2 - 7^2 = 25a^2 - 49$$

Étape 5

D'après l'énoncé, pour $x = 5$, l'expression est égale à $851$. On résout donc l'équation :

Étape 6

$$25a^2 - 49 = 851$$

Étape 7

En ajoutant $49$ à chaque membre, on obtient :

Étape 8

$$25a^2 = 900$$

Étape 9

En divisant par $25$ chaque membre :

Étape 10

$$a^2 = \frac{900}{25} = 36$$

Étape 11

L'équation $a^2 = 36$ admet deux solutions : $-\sqrt{36} = -6$ et $\sqrt{36} = 6$. Comme l'énoncé précise que $a$ est un nombre positif, on en déduit que $a = 6$.