Exercice : Effets des symétries, translations et rotations

Étape 1

Étape 1 : Calcul de la longueur de $[BC]$.

Étape 2

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. D'après le théorème de Pythagore :

Étape 3

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

Étape 4

On remplace par les valeurs connues : $10^2 = 6^2 + BC^2$, soit $100 = 36 + BC^2$. D'où :

Étape 5

$$BC^2 = 100 - 36 = 64$$

Étape 6

Comme une longueur est positive, $BC = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$.

Étape 7

Étape 2 : Calcul de l'aire du triangle $ABC$.

Étape 8

L'aire d'un triangle rectangle s'obtient en multipliant les longueurs des deux côtés de l'angle droit puis en divisant par $2$ :

Étape 9

$$\text{Aire}(ABC) = \frac{AB \times BC}{2}$$

Étape 10

$$\text{Aire}(ABC) = \frac{6 \times 8}{2} = 24\text{ cm}^2$$

Étape 11

Étape 3 : Déduction de l'aire du triangle $A'B'C'$.

Étape 12

Une rotation conserve les longueurs, la forme et l'aire des figures géométriques.

Étape 13

Par conséquent, l'aire du triangle image $A'B'C'$ est égale à l'aire du triangle initial $ABC$.

Étape 14

$$\text{Aire}(A'B'C') = 24\text{ cm}^2$$