Exercice : Effets des symétries, translations et rotations

Étape 1

Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$. Le triangle $ABC$ étant isocèle en $A$, la hauteur $(AH)$ est également la médiatrice du segment $[BC]$. Le point $H$ est donc le milieu de $[BC]$, d'où : $$BH = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}$$

Étape 2

Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$. D'après le théorème de Pythagore : $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ Soit $5^2 = AH^2 + 3^2$, ce qui donne $25 = AH^2 + 9$, d'où : $$AH^2 = 25 - 9 = 16$$ La longueur étant positive, on obtient $AH = 4\text{ cm}$.

Étape 3

On calcule l'aire du triangle initial $ABC$ : $$\text{Aire}(ABC) = \frac{BC \times AH}{2} = \frac{6 \times 4}{2} = 12\text{ cm}^2$$

Étape 4

La rotation conserve les aires. Chaque triangle issu d'une rotation du triangle $ABC$ a donc une aire de $12\text{ cm}^2$.

Étape 5

Les $n$ triangles étant assemblés sans chevauchement, l'aire totale de la figure est égale à $n \times 12\text{ cm}^2$. On cherche le plus petit entier $n$ tel que : $$12n \ge 100$$ On calcule : $$\frac{100}{12} = \frac{25}{3} \approx 8{,}33$$ Pour $n = 8$, l'aire vaut $8 \times 12 = 96\text{ cm}^2 < 100\text{ cm}^2$. Pour $n = 9$, l'aire vaut $9 \times 12 = 108\text{ cm}^2 \ge 100\text{ cm}^2$. Le nombre minimal de triangles est donc 9.