Exercice calcul littéral, double distributivité, développement — Développer et réduire (3ème)

★★ Avancé

Un élève affirme que, pour tout nombre $x$, l'égalité suivante est exacte :

$$(5x - 2)(3x + 4) = 15x^2 + kx - 8$$

où $k$ est un nombre relatif.

Déterminer la valeur du nombre $k$ qui rend cette égalité vraie pour toutes les valeurs de $x$.

Saisir la valeur du nombre $k$.

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✓

Réponse finale

Étape 1

Pour déterminer la valeur de $k$, on transforme l'expression $(5x - 2)(3x + 4)$ sous forme réduite.

Étape 2

Pour tout nombre $x$, on applique la double distributivité : $$(5x - 2)(3x + 4) = 5x \times 3x + 5x \times 4 - 2 \times 3x - 2 \times 4$$

Étape 3

On effectue chacun des produits : $$(5x - 2)(3x + 4) = 15x^2 + 20x - 6x - 8$$

Étape 4

On réduit l'expression en regroupant les termes en $x$ ($20x - 6x = 14x$) : $$(5x - 2)(3x + 4) = 15x^2 + 14x - 8$$

Étape 5

En comparant cette expression avec $15x^2 + kx - 8$, on en déduit que le coefficient de $x$ est égal à $14$.

Étape 6

La valeur du nombre $k$ est donc $14$.

Méthode clé

Utiliser la double distributivité pour transformer le produit de facteurs en une expression réduite de la forme $ax^2 + bx + c$, puis identifier le coefficient $b$.

Piège à éviter

Attention aux signes lors du calcul des produits, en particulier $(-2) \times 3x = -6x$.

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Exercice : Développer et réduire

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